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@@ -1,5 +1,7 @@
 ---
-date: 2024-07-31
+date: 
+  created: 2024-07-31
+  updated: 2024-08-02
 authors:
   - lnw143
 categories:
@@ -24,9 +26,11 @@ $$
 
 其中 $\{p_1,p_2,\cdots,p_n\}$ 是一个 $n$ 的排列，$\tau(p_1,p_2,\cdots,p_n)$ 表示 $\{p_1,p_2,\cdots,p_n\}$ 的逆序数。
 
-## 性质
+## 引理
 
-1. $$
+### Lemma 1
+
+$$
 \begin{vmatrix}
 a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
 a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
@@ -47,9 +51,11 @@ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
 \end{vmatrix}
 $$
 
-	读者自证不难。
+读者自证不难。
 
-2. $$
+### Lemma 2
+
+$$
 \begin{vmatrix}
 a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
 a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
@@ -73,50 +79,58 @@ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
 \end{vmatrix}
 $$
 
-	读者自证不难。
-
-3. 若矩阵有相同的两行，则行列式为零。
-
-	*Proof:* 交换相同的两行后矩阵不变，且由 (2) 得行列式变号，即 $|A|=-|A|$，所以 $|A|=0$。
-
-4. 若矩阵某一行是另一行的倍数，则行列式为零。
-
-	*Proof:* 由 (1) & (3) 易证。
-
-5. 若 $\forall j,a_{i,j} = b_j + c_j$，则
-
-	$$
-	\begin{vmatrix}
-	a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
-	a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
-	\vdots & \vdots &  & \vdots \\
-	a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,n} \\
-	\vdots & \vdots &  & \vdots \\
-	a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
-	\end{vmatrix}
-	=
-	\begin{vmatrix}
-	a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
-	a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
-	\vdots & \vdots &  & \vdots \\
-	b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\
-	\vdots & \vdots &  & \vdots \\
-	a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
-	\end{vmatrix}
-	+
-	\begin{vmatrix}
-	a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
-	a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
-	\vdots & \vdots &  & \vdots \\
-	c_1 & c_2 & \cdots & c_n \\
-	\vdots & \vdots &  & \vdots \\
-	a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
-	\end{vmatrix}
-	$$
-
-	读者自证不难。
-
-6. $$
+读者自证不难。
+
+### Lemma 3
+
+若矩阵有相同的两行，则行列式为零。
+
+*Proof:* 交换相同的两行后矩阵不变，且由 [Lemma 2](#lemma-2) 得行列式变号，即 $|A|=-|A|$，所以 $|A|=0$。$\square$
+
+### Lemma 4
+
+若矩阵某一行是另一行的倍数，则行列式为零。
+
+*Proof:* 由 [Lemma 1](#lemma-1) & [Lemma 3](#lemma-3) 易证。
+
+### Lemma 5
+
+若 $\forall j,a_{i,j} = b_j + c_j$，则
+
+$$
+\begin{vmatrix}
+a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
+a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
+\vdots & \vdots &  & \vdots \\
+a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,n} \\
+\vdots & \vdots &  & \vdots \\
+a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
+\end{vmatrix}
+=
+\begin{vmatrix}
+a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
+a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
+\vdots & \vdots &  & \vdots \\
+b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\
+\vdots & \vdots &  & \vdots \\
+a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
+\end{vmatrix}
++
+\begin{vmatrix}
+a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
+a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
+\vdots & \vdots &  & \vdots \\
+c_1 & c_2 & \cdots & c_n \\
+\vdots & \vdots &  & \vdots \\
+a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
+\end{vmatrix}
+$$
+
+读者自证不难。
+
+### Lemma 6
+
+$$
 \begin{vmatrix}
 a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
 a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
@@ -140,42 +154,108 @@ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
 \end{vmatrix}
 $$
 
-	*Proof:* 设 
-
-	$$
-	A = 
-	\begin{vmatrix}
-	a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
-	a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
-	\vdots & \vdots &  & \vdots \\
-	a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,n} \\
-	\vdots & \vdots &  & \vdots \\
-	a_{j,1} & a_{j,2} & \cdots & a_{j,n} \\
-	\vdots & \vdots &  & \vdots \\
-	a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
-	\end{vmatrix},
-	B = \begin{vmatrix}
-	a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
-	a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
-	\vdots & \vdots &  & \vdots \\
-	a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,n} \\
-	\vdots & \vdots &  & \vdots \\
-	ka_{i,1} & ka_{i,2} & \cdots & ka_{i,n} \\
-	\vdots & \vdots &  & \vdots \\
-	a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
-	\end{vmatrix} \\
-	C = \begin{vmatrix}
-	a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
-	a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
-	\vdots & \vdots &  & \vdots \\
-	a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,n} \\
-	\vdots & \vdots &  & \vdots \\
-	a_{j,1}+ka_{i,1} & a_{j,2}+ka_{i,2} & \cdots & a_{j,n}+ka_{i,n} \\
-	\vdots & \vdots &  & \vdots \\
-	a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
-	\end{vmatrix}
-	$$
-
-	由 (4) 得 $|B|=0$，由 (5) 得 $|C| = |A| + |B| = |A|$。
-
-7. $$
+*Proof:* 设 
+
+$$
+A = 
+\begin{vmatrix}
+a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
+a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
+\vdots & \vdots &  & \vdots \\
+a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,n} \\
+\vdots & \vdots &  & \vdots \\
+a_{j,1} & a_{j,2} & \cdots & a_{j,n} \\
+\vdots & \vdots &  & \vdots \\
+a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
+\end{vmatrix},
+B = \begin{vmatrix}
+a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
+a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
+\vdots & \vdots &  & \vdots \\
+a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,n} \\
+\vdots & \vdots &  & \vdots \\
+ka_{i,1} & ka_{i,2} & \cdots & ka_{i,n} \\
+\vdots & \vdots &  & \vdots \\
+a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
+\end{vmatrix} \\
+C = \begin{vmatrix}
+a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
+a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
+\vdots & \vdots &  & \vdots \\
+a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,n} \\
+\vdots & \vdots &  & \vdots \\
+a_{j,1}+ka_{i,1} & a_{j,2}+ka_{i,2} & \cdots & a_{j,n}+ka_{i,n} \\
+\vdots & \vdots &  & \vdots \\
+a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
+\end{vmatrix}
+$$
+
+由 [Lemma 4](#lemma-4) 得 $|B|=0$，由 [Lemma 5](#lemma-5) 得 $|C| = |A| + |B| = |A|$。$\square$
+
+### Lemma 7
+
+$$
+\begin{vmatrix}
+a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
+0 & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+0 & 0 & \cdots & a_{n,n} \\
+\end{vmatrix}
+= \prod_i a_{i,i}
+$$
+
+即上三角矩阵的行列式为主对角线元素的乘积。
+
+*Proof:* 由行列式的定义得若 $\exists i, a_{i,p_i} = 0$，那么整个排列对行列式无贡献。
+
+因此要想对行列式有贡献，$p_n$ 必等于 $n$，同理得 $\forall i, p_i = i$。$\square$
+
+## 求解
+
+显然有 $\mathrm O(n! n)$ 的 naive 方法，但如果这样上面的 $\LaTeX$ 就白写了（
+
+考虑把矩阵转化为上三角矩阵并由 [Lemma 7](#lemma-7) $\mathrm O(n)$ 计算行列式。
+
+这个过程形如高斯消元，于是考虑用高斯消元法来求解行列式。
+
+假设目前处理到第 $i$ 行，要使得 $\forall j > i, a_{j,i} = 0$。
+
+显然可以让第 $j$ 行加上第 $i$ 行乘 $- \frac{a_{i,j}}{a_{i,i}}$，但对于任意模数情况下 $a_{i,i}$ 不一定有逆元。
+
+因此，我们考虑用辗转相除法。
+
+每次使得 $a_{j,i} \gets a_{j,i} \bmod a_{i,i}$，并交换第 $i$ 行与第 $j$ 行。
+
+即让第 $j$ 行加上第 $i$ 行乘 $- \lfloor \frac{a_{i,j}}{a_{i,i}} \rfloor$，并交换第 $i$ 行与第 $j$ 行。
+
+时间复杂度看似是 $\mathrm O(n^3 \log P)$，但可以证明是 $\mathrm O(n^3)$，其中 $P$ 是模数。
+
+??? note "参考代码"
+
+    === "C++"
+		```cpp
+		int n,p,a[N + 2][N + 2];
+		int det() {
+			int sgn=0;
+			for(int i=1; i<=n; ++i)
+				for(int j=i+1; j<=n; ++j) {
+					while(a[i][i]) {
+						ll d=a[j][i]/a[i][i];
+						for(int k=1; k<=n; ++k)
+							a[j][k]=(a[j][k]-d*a[i][k]%p)%p;
+						swap(a[i],a[j]);
+						sgn^=1;
+					}
+					swap(a[i],a[j]);
+					sgn^=1;
+				}
+			ll ans=sgn?-1:1;
+			for(int i=1; i<=n; ++i) ans=ans*a[i][i]%p;
+			return (ans+p)%p;
+		}
+		```
+
+## 应用
+
+- 矩阵树定理
+

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@@ -3,11 +3,19 @@ authors:
   - lnw143
 categories:
   - Math
-date: 2024-07-10
+date: 
+  created: 2024-07-10
+  updated: 2024-08-02
+links:
+  - Material documentation: https://squidfunk.github.io/mkdocs-material
 ---
 
 # 数学
 
 这里是一些数学相关的算法。
 
-- [Berlekamp-Massey 算法](berlekamp-massey.md)
+<!-- - [Berlekamp-Massey 算法](berlekamp-massey.md) -->
+
+- 线性代数
+
+	- [行列式](det.md)