first

.github/workflows/ci.yml

@@ -0,0 +1,29 @@
+name: ci 
+on:
+  push:
+    branches:
+      - master 
+      - main
+permissions:
+  contents: write
+jobs:
+  deploy:
+    runs-on: ubuntu-latest
+    steps:
+      - uses: actions/checkout@v4
+      - name: Configure Git Credentials
+        run: |
+          git config user.name github-actions[bot]
+          git config user.email 41898282+github-actions[bot]@users.noreply.github.com
+      - uses: actions/setup-python@v5
+        with:
+          python-version: 3.x
+      - run: echo "cache_id=$(date --utc '+%V')" >> $GITHUB_ENV 
+      - uses: actions/cache@v4
+        with:
+          key: mkdocs-material-${{ env.cache_id }}
+          path: .cache
+          restore-keys: |
+            mkdocs-material-
+      - run: pip install mkdocs-material 
+      - run: mkdocs gh-deploy --force

docs/blog/.authors.yml

@@ -0,0 +1,7 @@
+authors:
+  lnw143:
+    name: Liam
+    description: An OIer.
+    avatar: https://github.com/lnw143.png
+    slug: https://github.com/lnw143
+    url: https://lnw143.github.io

docs/blog/index.md

@@ -0,0 +1,33 @@
+---
+authors:
+  - lnw143
+date: 2024-07-08
+draft: false
+pin: false
+---
+
+# Welcome to Liam's Blog
+
+## About me
+
+- My id : lnw143
+
+- Year of Birth : 2009
+
+- Location : Zhongshan, Guangdong Province, CHN
+
+## Motto
+
+Nothing.
+
+## Link
+
+- [Github](https://github.com/lnw143)
+
+- [Luogu](https://www.luogu.com.cn/user/767819)
+
+- [Codeforces](https://codeforces.com/profile/lnw143)
+
+- [AtCoder](https://atcoder.jp/users/lnw143)
+
+- [TopCoder](https://www.topcoder.com/members/lnw143/)

docs/blog/posts/algo/geometry/index.md

@@ -0,0 +1,18 @@
+---
+title: index
+authors:
+  - lnw143
+categories:
+  - Geometry
+date: 2024-07-08
+draft: false
+pin: false
+---
+
+# 计算几何
+
+这里是计算几何的算法笔记。
+
+- [平面直角坐标系的点绕原点旋转公式及证明](rotate-point.md)
+
+- [$\sin/\cos(\alpha+\beta)$ 的展开证明](sin-cos-exp.md)

docs/blog/posts/algo/geometry/rotate-point.md

@@ -0,0 +1,46 @@
+---
+title: rotate-point
+authors:
+  - lnw143
+categories:
+  - Geometry
+date: 2024-06-16
+draft: false
+pin: false
+---
+
+# 平面直角坐标系的点绕原点旋转公式及证明
+
+设点 $A(x,y)$ 绕原点 $O(0,0)$ 逆时针旋转 $\beta$，则设在极坐标系下 $A$ 的坐标为 $(r,\alpha)$
+
+> 这意味着 $x=r \cos \alpha, y=r \sin \alpha$
+
+目标点 $A'(x',y')$ 的极坐标即为 $(r,\alpha + \beta)$
+
+展开（其中 $\sin$ 和 $\cos$ 的展开参考 [here](sin-cos-exp.md)）：
+
+---
+
+$$
+\begin{aligned}
+x' & = r \cos (\alpha + \beta) \\
+& = r(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) \\
+& = r\cos \alpha \cos \beta - r\sin \alpha \sin \beta \\
+& = x \cos \beta - y \sin \beta \\
+\end{aligned}
+$$
+
+---
+
+$$
+\begin{aligned}
+y' & = r \sin (\alpha + \beta) \\
+& = r (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) \\
+& = r \sin \alpha \cos \beta + r\cos \alpha \sin \beta \\
+& = y \cos \beta + x \sin \beta\\
+\end{aligned}
+$$
+
+---
+
+结论：点 $(x,y)$ 绕原点逆时针旋转 $\theta$ 后坐标为 $(x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)$。

docs/blog/posts/algo/geometry/sin-cos-exp.md

@@ -0,0 +1,40 @@
+---
+title: sin-cos-exp
+authors:
+  - lnw143
+categories:
+  - Geometry
+date: 2024-06-16
+draft: false
+pin: false
+---
+
+# $\sin/\cos(\alpha+\beta)$ 的展开证明
+
+[图](https://www.desmos.com/calculator/mxat6bxhv0)
+
+---
+
+$$
+\begin{aligned}
+\cos(α+β) &= OB \\
+& = OD - BD \\
+& = OD - EC \\
+& = OC \cos \beta - AC \sin \beta \\
+& = OA \cos \alpha \cos \beta - OA \sin \alpha \sin \beta \\
+& = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
+\end{aligned}
+$$
+
+---
+
+$$
+\begin{aligned}
+\sin(α+β) &= AB \\
+& = AE + BE \\
+& = AE + CD \\
+& = AC \cos \beta + OC \sin \beta \\
+& = OA \sin \alpha \cos \beta + OA \cos \alpha \sin \beta \\
+& = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
+\end{aligned}
+$$

docs/blog/posts/algo/poly/fft-ntt.md

@@ -0,0 +1,179 @@
+---
+authors:
+  - lnw143
+categories:
+  - poly
+date: 2024-06-22
+draft: false
+pin: false
+---
+
+# FFT & NTT 复习笔记
+
+> 默认文中的形如 $[l,r)$ 的区间为其与整数集的交集。
+
+## 快速变换
+
+设原多项式为 $F(x) = \sum_{i \in [0,n)} a_i x ^ i$，其中 $n = 2 ^ k, k \in \mathbb Z ^ +$。
+
+我们要求 $\forall i \in [0,n),\hat a_i = F(t_i)$，其中 $t$ 是一个长度为 $n$ 且两两互不相同的序列。
+
+显然 $F$ 可以被一组 $\hat a,t$ 唯一确定，即点值表示法。
+
+---
+
+另设两个多项式
+
+$$
+G_0(x)=a_0 + a_2 x + \dots + a_{n - 2} x^{\frac n 2 - 1} \\
+G_1(x)=a_1 + a_3 x + \dots + a_{n - 1} x^{\frac n 2 - 1} \\
+$$
+
+则有
+
+$$
+\begin{aligned}
+F(x) & = \sum_{i \in [0,n)} a_i x ^ i \\
+& = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_{n-1} x^{n-1} \\
+& = (a_0 + a_2 x^2 + \dots + a_{n-2} x^{n-2}) + (a_1 x + a_3 x^3 + \dots + a_{n-1} x^{n-1}) \\
+& = G_0 (x ^ 2) + x G_1 (x ^ 2) \\
+\end{aligned}
+$$
+
+---
+
+考虑构造单位根 $\omega _n ^k$ 满足 $\omega _n ^{\frac n 2} = -1, \omega _{2n} ^ {2k} = \omega _n ^k$。
+
+显然也有 $\omega _n ^n = \omega _n ^0 = 1$。
+
+设 $\forall i \in [0,n), t_i = \omega _n ^i$。
+
+当 $x = \omega _n ^k, k \in [0,\frac n 2)$ 时显然有
+
+$$
+\begin{aligned}
+F(\omega _n ^k) & = G_0(\omega _n ^{2k}) + \omega _n ^k G_1(\omega _n ^{2k}) \\
+& = G_0(\omega _ {\frac n 2} ^ k) + \omega _n ^k G_1(\omega _{\frac n 2} ^k) \\
+\end{aligned}
+$$
+
+
+当 $x = \omega _n ^{k + \frac n 2}, k \in [0,\frac n 2)$ 时有
+
+$$
+\begin{aligned}
+F(\omega _n ^{k + \frac n 2}) & = G_0(\omega _n ^{2k + n}) + \omega _n ^{k + \frac n 2} G_1(\omega _n ^{2k + n}) \\
+& = G_0(\omega _n ^{2k} \cdot \omega _n ^n) - \omega _n ^k G_1(\omega _n ^{2k} \cdot \omega _n ^n) \\
+& = G_0(\omega _n ^{2k}) - \omega _n ^k G_1(\omega _n ^{2k}) \\
+& = G_0(\omega _{\frac n 2} ^k) - \omega _n ^k G_1(\omega _{\frac n 2} ^k) \\
+\end{aligned}
+$$
+
+---
+
+由于两者只有一个符号的差异，于是 $F$ 的点值可以直接 $\mathrm O(n)$ 从 $G_0, G_1$ 的点值得到。
+
+递归解决，时间复杂度 $\mathrm O(n \log n)$。
+
+## 逆变换
+
+设变换后的点值序列为 $\hat a$，即
+
+$$
+\begin{aligned}
+\forall i \in [0,n), \hat a_i & = F(\omega _n ^i) \\
+& = \sum _{j \in [0,n)} a_j (\omega _n ^i)^j \\
+& = \sum _{j \in [0,n)} a_j \omega _n ^{ij} \\
+\end{aligned}
+$$
+
+设多项式 $\hat F(x) = \sum _{i \in [0,n)} \hat a_i x^i$。
+
+对 $\hat F$ 进行点值变换（$\forall i \in [0,n),t_i = \omega _n ^{-i}$），设点值序列为 $s$。
+
+则有
+
+$$
+\begin{aligned}
+\forall i \in [0,n), s_i & = \hat F(\omega _n ^{-i}) \\
+& = \sum _{j \in [0,n)} \hat a_j (\omega _n ^{-i}) ^j \\
+& = \sum _{j \in [0,n)} \omega _n ^{-ij} \hat a_j \\
+& = \sum _{j \in [0,n)} \omega _n ^{-ij} \sum _{k \in [0,n)} a_k \omega _n ^{jk} \\
+& = \sum _{j \in [0,n), k \in [0,n)} \omega _n ^{-ij} a_k \omega _n ^{jk} \\
+& = \sum _{j \in [0,n), k \in [0,n)} \omega _n ^{j(k-i)} a_k \\
+& = \sum _{k \in [0,n)} a_k \sum _{j \in [0,n)} \omega _n ^{j(k-i)} \\
+& = \sum _{k \in [0,n)} a_k \sum _{j \in [0,n)} (\omega _n ^{k-i}) ^j \\
+\end{aligned}
+$$
+
+---
+
+显然第二个求和是一个等比数列，由等比数列求和公式 $\sum _{i \in [m,n)} p^i = \frac {p^m - p^n} {1 - p}$ 得：
+
+- 当 $\omega _n ^{k-i} \not = 1 \iff i \not = k$
+
+$$
+\begin{aligned}
+\sum _{j \in [0,n)} (\omega _n ^{k-i}) ^j & = \frac {1 - \omega _n ^{(k-i) n}} {1 - \omega _n ^{k-i}} \\
+& = \frac {1 - (\omega _n ^{k-i}) ^n} {1 - \omega _n ^{k-i}} \\
+& = \frac {1 - 1} {1 - \omega _n ^{k-i}} \\
+& = 0
+\end{aligned}
+$$
+
+- 当 $\omega _n ^{k-i} = 1 \iff i = k$
+
+$$
+\sum _{j \in [0,n)} (\omega _n ^{k-i}) ^j = \sum _{j \in [0,n)} 1 = n
+$$
+
+---
+
+因此
+
+$$
+\begin{aligned}
+\forall i \in [0,n), s_i & = \sum _{k \in [0,n)} a_k \sum _{j \in [0,n)} (\omega _n ^{k-i}) ^j \\
+& = n a_i \\
+\end{aligned}
+$$
+
+于是我们有
+
+$$
+\forall i \in [0,n), a_i = \frac {s_i} n
+$$
+
+## 构造单位根
+
+- **FFT**
+
+在复数域下，有 $\omega _n = \cos \frac {2 \pi} n + \mathrm i \sin \frac {2 \pi} {n}$。
+
+其中 $\mathrm i = \sqrt {-1}$ 是 虚数单位，可以用 `C++` 中的 `complex` 库中的 `std::complex<double/long double>` 存储复数。
+
+- **NTT**
+
+对于模数 $P \in \mathbb P, \exists n,k \in \mathbb Z^+, P=2^nk+1$，在模 $P$ 意义下有 $\omega _n \equiv g ^ {\frac {P-1} n}$，其中 $g$ 是原根。
+
+$g$ 是模 $P$ 意义下的原根当且仅当 $g ^i \not \equiv 1 \pmod P,\forall i \in [1,\phi(P))$ 且 $g ^{\phi(P)} \equiv 1 \pmod P$。
+
+specially，$\forall P \in \mathbb P$，其原根 $g$ 满足 $\forall i \in [1,P-1), g ^i \not \equiv 1 \pmod P$ 且 $g^{P-1} \equiv 1 \pmod P$。
+
+于是对 $n = 2 ^m, m \in \mathbb Z ^+$，我们有 $\omega _n ^n \equiv g ^{\frac {P - 1} {n} \cdot n} \equiv g ^{P - 1} \equiv 1, \pmod P$，且 $\omega _n ^{\frac n 2} \equiv g ^{\frac {P - 1} 2} \equiv \pm \sqrt {g ^ {P - 1}} \equiv \pm 1 \pmod P$，又 $g ^ {\frac {P-1} 2} \not \equiv 1 \pmod P$，所以 $\omega _n ^{\frac n 2} \equiv -1 \pmod P$。
+
+还有 $\omega _{2n} ^{2k} \equiv g ^{\frac {2k(P-1)} {2n}} \equiv g ^{\frac{k(P-1)} n} \equiv \omega _n ^k \pmod P$
+
+由于原根的特殊性，模数 $P \in \mathbb P$ 有特殊的限制，一般有 $P = k 2 ^m + 1, k,m\in \mathbb Z ^+$。
+
+常见的模数有
+
+$$
+\begin{aligned}
+167772161 = 5 \times 2 ^{25} + 1, g = 3 \\
+469762049 = 7 \times 2 ^{26} + 1, g = 3 \\
+754974721 = 45 \times 2 ^{24} + 1, g = 11 \\
+998244353 = 119 \times 2 ^{23} + 1, g = 3 \\
+1004535809 = 479 \times 2 ^{21} + 1, g = 3 \\
+\end{aligned}
+$$

docs/blog/posts/algo/poly/index.md

@@ -0,0 +1,16 @@
+---
+title: index
+authors:
+  - lnw143
+categories:
+  - Poly
+date: 2024-07-08
+draft: false
+pin: false
+---
+
+# 多项式相关
+
+这里是多项式相关的算法笔记。
+
+- [FFT & NTT 复习笔记](fft-ntt.md)