Моделирование одноатомного газа

Здесь есть шарики массы m и 4m. Они расположены вперемешку в узком желобе с жёсткими стенками.

Они двигаются без трения и абсолютно упруго сталкиваются со стенками и между собой.

Это домашнее задание по предмету "Компьютерные технологии" в университете.

Что было сделано:

1. Анимация с шариками

2. В заданный момент все скорости шариков меняются на противоположные, и можно пронаблюдать, как всё возвращается в исходное состояние. Так можно проверить корректность модели.

3. График усреднённой по времени энергии для одного из тяжелых и одного из лёгких шариков. В соответствии с распределением Маквселла-Больцмана, распределение частиц по энергиям не зависит от массы, поэтому получаются две горизонтальные линии на одинаковой высоте.

4. Плотность распределения скоростей и энергии шариков разной массы.

Теория

Распределение Максвелла-Больцмана в одномерном случае:

P([v, v+dv]) = sqrt(m / 2 pi kT) * exp(-mv^2/2 / kT) dv (1)

Получим из этого распределение по энергиям:

m v^2 / 2 = E

v = sqrt(2E/m)

dv = 1 / sqrt(2 E m) dE

Если подставить это в (1), то массы сократятся:

1/(2 sqrt(pi kT)) * 1/sqrt(E) * exp(-E/kT) dE

Но каждому значению энергии соответствуют два значения скорости: положительное и отрицательное. Поэтому, чтобы получить плотность распределения, нужно умножить это выражение на два:

P([E, E+dE]) = 1/sqrt(pi kT) * 1/sqrt(E) * exp(-E/kT) dE

Алгоритм

Когда n шариков находятся на одной линии, есть n + 1 возможное столкновение шарика с шариком и шарика со стенкой.

На каждом шаге программа вычисляет ближайшее столкновение. Для этого достаточно разделить растояние между каждой парой шариков на разность их скоростей, и выбрать наименьшее.

Вычислив время до ближайшего столкновения, алгоритм считает, на какое расстояние сместится каждый шарик и как изменятся скорости столкнувшихся шариков.

И всё. Этого достаточно, чтобы начать считать следующее столкновение, и так далее.