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1. 区间动态规划简介

1.1 区间动态规划定义

区间动态规划：线性 DP 的一种，简称为「区间 DP」。以「区间长度」划分阶段，以两个坐标（区间的左、右端点）作为状态的维度。一个状态通常由被它包含且比它更小的区间状态转移而来。

区间 DP 的主要思想就是：先在小区间内得到最优解，再利用小区间的最优解合并，从而得到大区间的最优解，最终得到整个区间的最优解。

根据小区间向大区间转移情况的不同，常见的区间 DP 问题可以分为两种：

  1. 单个区间从中间向两侧更大区间转移的区间 DP 问题。比如从区间 $[i + 1, j - 1]$ 转移到更大区间 $[i, j]$。
  2. 多个（大于等于 $2$ 个）小区间转移到大区间的区间 DP 问题。比如从区间 $[i, k]$ 和区间 $[k, j]$ 转移到区间 $[i, j]$。

下面我们讲解一下这两种区间 DP 问题的基本解题思路。

1.2 区间 DP 问题的基本思路

1.2.1 第 1 种区间 DP 问题基本思路

从中间向两侧转移的区间 DP 问题的状态转移方程一般为：$dp[i][j] = max \lbrace dp[i + 1][j - 1], \quad dp[i + 1][j], \quad dp[i][j - 1] \rbrace + cost[i][j], \quad i \le j$。

  1. 其中 $dp[i][j]$ 表示为：区间 $[i, j]$（即下标位置 $i$ 到下标位置 $j$ 上所有元素）上的最大价值。
  2. $cost$ 表示为：从小区间转移到区间 $[i, j]$ 的代价。
  3. 这里的 $max / min$ 取决于题目是求最大值还是求最小值。

从中间向两侧转移的区间 DP 问题的基本解题思路如下：

  1. 枚举区间的起点；
  2. 枚举区间的终点；
  3. 根据状态转移方程计算从小区间转移到更大区间后的最优值。

对应代码如下：

for i in range(size - 1, -1, -1):       # 枚举区间起点
    for j in range(i + 1, size):        # 枚举区间终点
        # 状态转移方程，计算转移到更大区间后的最优值
        dp[i][j] = max(dp[i + 1][j - 1], dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + cost[i][j]

1.2.3 第 2 种区间 DP 问题基本思路

多个（大于等于 $2$ 个）小区间转移到大区间的区间 DP 问题的状态转移方程一般为：$dp[i][j] = max / min \lbrace dp[i][k] + dp[k + 1][j] + cost[i][j] \rbrace, \quad i < k \le j$。

  1. 其中状态 $dp[i][j]$ 表示为：区间 $[i, j]$ （即下标位置 $i$ 到下标位置 $j$ 上所有元素）上的最大价值。
  2. $cost[i][j]$ 表示为：将两个区间 $[i, k]$ 与 $[k + 1, j]$ 中的元素合并为区间 $[i, j]$ 中的元素的代价。
  3. 这里的 $max / min$ 取决于题目是求最大值还是求最小值。

多个小区间转移到大区间的区间 DP 问题的基本解题思路如下：

  1. 枚举区间长度；
  2. 枚举区间的起点，根据区间起点和区间长度得出区间终点；
  3. 枚举区间的分割点，根据状态转移方程计算合并区间后的最优值。

对应代码如下：

for l in range(1, n):               # 枚举区间长度
    for i in range(n):              # 枚举区间起点
        j = i + l - 1               # 根据起点和长度得到终点
        if j >= n:
            break
        dp[i][j] = float('-inf')    # 初始化 dp[i][j]
        for k in range(i, j + 1):   # 枚举区间分割点
            # 状态转移方程，计算合并区间后的最优值
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + cost[i][j])

2. 区间 DP 问题的应用

下面我们根据几个例子来讲解一下区间 DP 问题的具体解题思路。

2.1 最长回文子序列

2.1.1 题目链接

2.1.2 题目大意

描述：给定一个字符串 $s$。

要求：找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

说明：

  • 子序列：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。
  • $1 \le s.length \le 1000$。
  • $s$ 仅由小写英文字母组成。

示例：

  • 示例 1：
输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。
  • 示例 2：
输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb"。

2.1.3 解题思路

思路 1：动态规划
1. 划分阶段

按照区间长度进行阶段划分。

2. 定义状态

定义状态 $dp[i][j]$ 表示为：字符串 $s$ 在区间 $[i, j]$ 范围内的最长回文子序列长度。

3. 状态转移方程

我们对区间 $[i, j]$ 边界位置上的字符 $s[i]$ 与 $s[j]$ 进行分类讨论：

  1. 如果 $s[i] = s[j]$，则 $dp[i][j]$ 为区间 $[i + 1, j - 1]$ 范围内最长回文子序列长度 + $2$，即 $dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2$。
  2. 如果 $s[i] \ne s[j]$，则 $dp[i][j]$ 取决于以下两种情况，取其最大的一种：
    1. 加入 $s[i]$ 所能组成的最长回文子序列长度，即：$dp[i][j] = dp[i][j - 1]$。
    2. 加入 $s[j]$ 所能组成的最长回文子序列长度，即：$dp[i][j] = dp[i - 1][j]$。

则状态转移方程为：

$dp[i][j] = \begin{cases} max \lbrace dp[i + 1][j - 1] + 2 \rbrace & s[i] = s[j] \cr max \lbrace dp[i][j - 1], dp[i - 1][j] \rbrace & s[i] \ne s[j] \end{cases}$

4. 初始条件
  • 单个字符的最长回文序列是 $1$，即 $dp[i][i] = 1$。
5. 最终结果

由于 $dp[i][j]$ 依赖于 $dp[i + 1][j - 1]$、$dp[i + 1][j]$、$dp[i][j - 1]$，所以我们应该按照从下到上、从左到右的顺序进行遍历。

根据我们之前定义的状态，$dp[i][j]$ 表示为：字符串 $s$ 在区间 $[i, j]$ 范围内的最长回文子序列长度。所以最终结果为 $dp[0][size - 1]$。

思路 1：代码
class Solution:
    def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
        size = len(s)
        dp = [[0 for _ in range(size)] for _ in range(size)]
        for i in range(size):
            dp[i][i] = 1

        for i in range(size - 1, -1, -1):
            for j in range(i + 1, size):
                if s[i] == s[j]:
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])

        return dp[0][size - 1]
思路 1：复杂度分析
  • 时间复杂度：$O(n^2)$，其中 $n$ 为字符串 $s$ 的长度。
  • 空间复杂度：$O(n^2)$。

2.2 戳气球

2.2.1 题目链接

2.2.2 题目大意

描述：有 $n$ 个气球，编号为 $0 \sim n - 1$，每个气球上都有一个数字，这些数字存在数组 $nums$ 中。现在开始戳破气球。其中戳破第 $i$ 个气球，可以获得 $nums[i - 1] \times nums[i] \times nums[i + 1]$ 枚硬币，这里的 $i - 1$ 和 $i + 1$ 代表和 $i$ 相邻的两个气球的编号。如果 $i - 1$ 或 $i + 1$ 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 $1$ 的气球。

要求：求出能获得硬币的最大数量。

说明：

  • $n == nums.length$。
  • $1 \le n \le 300$。
  • $0 \le nums[i] \le 100$。

示例：

  • 示例 1：
输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins =  3*1*5    +   3*5*8   +  1*3*8  + 1*8*1 = 167
  • 示例 2：
输入：nums = [1,5]
输出：10
解释：
nums = [1,5] --> [5] --> []
coins = 1*1*5 +  1*5*1 = 10

2.2.3 解题思路

思路 1：动态规划

根据题意，如果 $i - 1$ 或 $i + 1$ 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 $1$ 的气球。我们可以预先在 $nums$ 的首尾位置，添加两个数字为 $1$ 的虚拟气球，这样变成了 $n + 2$ 个气球，气球对应编号也变为了 $0 \sim n + 1$。

对应问题也变成了：给定 $n + 2$ 个气球，每个气球上有 $1$ 个数字，代表气球上的硬币数量，当我们戳破气球 $nums[i]$ 时，就能得到对应 $nums[i - 1] \times nums[i] \times nums[i + 1]$ 枚硬币。现在要戳破 $0 \sim n + 1$ 之间的所有气球（不包括编号 $0$ 和编号 $n + 1$ 的气球），请问最多能获得多少枚硬币？

1. 划分阶段

按照区间长度进行阶段划分。

2. 定义状态

定义状态 $dp[i][j]$ 表示为：戳破所有气球 $i$ 与气球 $j$ 之间的气球（不包含气球 $i$ 和 气球 $j$），所能获取的最多硬币数。

3. 状态转移方程

假设气球 $i$ 与气球 $j$ 之间最后一个被戳破的气球编号为 $k$。则 $dp[i][j]$ 取决于由 $k$ 作为分割点分割出的两个区间 $(i, k)$ 与

$(k, j)$ 上所能获取的最多硬币数 + 戳破气球 $k$ 所能获得的硬币数，即状态转移方程为：

$dp[i][j] = max \lbrace dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i] \times nums[k] \times nums[j] \rbrace, \quad i &lt; k &lt; j$

4. 初始条件
  • $dp[i][j]$ 表示的是开区间，则 $i &lt; j - 1$。而当 $i \ge j - 1$ 时，所能获得的硬币数为 $0$，即 $dp[i][j] = 0, \quad i \ge j - 1$。
5. 最终结果

根据我们之前定义的状态，$dp[i][j]$ 表示为：戳破所有气球 $i$ 与气球 $j$ 之间的气球（不包含气球 $i$ 和 气球 $j$），所能获取的最多硬币数。所以最终结果为 $dp[0][n + 1]$。

思路 1：代码
class Solution:
    def maxCoins(self, nums: List[int]) -> int:
        size = len(nums)
        arr = [0 for _ in range(size + 2)]
        arr[0] = arr[size + 1] = 1
        for i in range(1, size + 1):
            arr[i] = nums[i - 1]
        
        dp = [[0 for _ in range(size + 2)] for _ in range(size + 2)]

        for l in range(3, size + 3):
            for i in range(0, size + 2):
                j = i + l - 1
                if j >= size + 2:
                    break
                for k in range(i + 1, j):
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + arr[i] * arr[j] * arr[k])
        
        return dp[0][size + 1]
思路 1：复杂度分析
  • 时间复杂度：$O(n^3)$，其中 $n$ 为气球数量。
  • 空间复杂度：$O(n^2)$。

2.3 切棍子的最小成本

2.3.1 题目链接

2.3.2 题目大意

描述：给定一个整数 $n$，代表一根长度为 $n$ 个单位的木根，木棍从 $0 \sim n$ 标记了若干位置。例如，长度为 $6$ 的棍子可以标记如下：

再给定一个整数数组 $cuts$，其中 $cuts[i]$ 表示需要将棍子切开的位置。

我们可以按照顺序完成切割，也可以根据需要更改切割顺序。

每次切割的成本都是当前要切割的棍子的长度，切棍子的总成本是所有次切割成本的总和。对棍子进行切割将会把一根木棍分成两根较小的木棍（这两根小木棍的长度和就是切割前木棍的长度）。

要求：返回切棍子的最小总成本。

说明：

  • $2 \le n \le 10^6$。
  • $1 \le cuts.length \le min(n - 1, 100)$。
  • $1 \le cuts[i] \le n - 1$。
  • $cuts$ 数组中的所有整数都互不相同。

示例：

  • 示例 1：

输入：n = 7, cuts = [1,3,4,5]
输出：16
解释：按 [1, 3, 4, 5] 的顺序切割的情况如下所示。
第一次切割长度为 7 的棍子，成本为 7 。第二次切割长度为 6 的棍子（即第一次切割得到的第二根棍子），第三次切割为长度 4 的棍子，最后切割长度为 3 的棍子。总成本为 7 + 6 + 4 + 3 = 20 。而将切割顺序重新排列为 [3, 5, 1, 4] 后，总成本 = 16（如示例图中 7 + 4 + 3 + 2 = 16）。

  • 示例 2：
输入：n = 9, cuts = [5,6,1,4,2]
输出：22
解释：如果按给定的顺序切割，则总成本为 25。总成本 <= 25 的切割顺序很多，例如，[4, 6, 5, 2, 1] 的总成本 = 22，是所有可能方案中成本最小的。

2.3.3 解题思路

思路 1：动态规划

我们可以预先在数组 $cuts$ 种添加位置 $0$ 和位置 $n$，然后对数组 $cuts$ 进行排序。这样待切割的木棍就对应了数组中连续元素构成的「区间」。

1. 划分阶段

按照区间长度进行阶段划分。

2. 定义状态

定义状态 $dp[i][j]$ 表示为：切割区间为 $[i, j]$ 上的小木棍的最小成本。

3. 状态转移方程

假设位置 $i$ 与位置 $j$ 之间最后一个切割的位置为 $k$，则 $dp[i][j]$ 取决与由 $k$ 作为切割点分割出的两个区间 $[i, k]$ 与 $[k, j]$ 上的最小成本 + 切割位置 $k$ 所带来的成本。

而切割位置 $k$ 所带来的成本是这段区间所代表的小木棍的长度，即 $cuts[j] - cuts[i]$。

则状态转移方程为：$dp[i][j] = min \lbrace dp[i][k] + dp[k][j] + cuts[j] - cuts[i] \rbrace, \quad i < k < j$

4. 初始条件
  • 相邻位置之间没有切割点，不需要切割，最小成本为 $0$，即 $dp[i - 1][i] = 0$。
  • 其余位置默认为最小成本为一个极大值，即 $dp[i][j] = \infty, \quad i + 1 \ne j$。
5. 最终结果

根据我们之前定义的状态，$dp[i][j]$ 表示为：切割区间为 $[i, j]$ 上的小木棍的最小成本。 所以最终结果为 $dp[0][size - 1]$。

思路 1：代码
class Solution:
    def minCost(self, n: int, cuts: List[int]) -> int:
        cuts.append(0)
        cuts.append(n)
        cuts.sort()
        
        size = len(cuts)
        dp = [[float('inf') for _ in range(size)] for _ in range(size)]
        for i in range(1, size):
            dp[i - 1][i] = 0

        for l in range(3, size + 1):        # 枚举区间长度
            for i in range(size):           # 枚举区间起点
                j = i + l - 1               # 根据起点和长度得到终点                            
                if j >= size:      
                    continue
                dp[i][j] = float('inf')
                for k in range(i + 1, j):   # 枚举区间分割点
                    # 状态转移方程，计算合并区间后的最优值
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + cuts[j] - cuts[i])
        return dp[0][size - 1]
思路 1：复杂度分析
  • 时间复杂度：$O(m^3)$，其中 $m$ 为数组 $cuts$ 的元素个数。
  • 空间复杂度：$O(m^2)$。