-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
20121009.tex
215 lines (150 loc) · 6.58 KB
/
20121009.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
\input{include.tex}
\markright{Piotr Suwara\hfill Topologia działania torusa: 9 października 2012 \hfill}
\begin{document}
{\bf Konstrukcje ekwiwariantne}
\begin{definicja}[skręcony produkt]
Niech $G$ działa z prawej na $X$, z lewej na $Y$. Wtedy $X \times_G Y = X \times Y / \sim$, gdzie $(xg, y) \sim (x,gy)$, albo $=X \times Y / G$, gdzie $g(x,y) = (xg^{-1}, gy)$.
\end{definicja}
\begin{definicja}[przestrzeń z indukowanym działaniem]
$H \subset G, X$ to $H$-przestrzeń, wtedy $G \times_H X$ to $G$-przestrzeń.
\end{definicja}
\begin{uwaga}
$X$ lewa $G$-przestrzeń, prawa $H$-przestrzeń, $Y$ lewa $H$-przestrzeń, to $X \times_H Y$ ma strukturę $G$-przestrzeni.
\end{uwaga}
\begin{definicja}[produkt włóknisty]\raisebox{-0.5\height}{
\begin{tikzpicture}[scale=1.4]
\node (Prod) at (0,0.7) {$Y \times_X Z$};
\node (Y) at (1,0.7) {$Y$};
\node (Z) at (0,0) {$Z$};
\node (X) at (1,0) {$X$};
\path[->,>=angle 90]
(Y) edge node[right]{$f$} (X)
(Z) edge node[above]{$g$} (X)
(Prod) edge node[above]{} (Y)
(Prod) edge node[right]{} (Z);
\end{tikzpicture}}, $Y \times_X Z = \{ (y,z) \in Y \times Z: f(y) = g(z) \}$.
Jeśli $X,Y,Z$ to $G$-przestrzenie, a odwzorowania sa ekwiwariantne, to $Y \times_X Z$ ma naturalne działanie.
\end{definicja}
\begin{definicja}[przestrzeń indukowana]\raisebox{-0.5\height}{
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\node (PB) at (0,1) {$f^\ast X = Y \times_{X/G} X$};
\node (X) at (2.5,1) {$X$};
\node (Y) at (0,0) {$Y$};
\node (XG) at (2.5,0) {$X/G$};
\path[->,>=angle 90]
(X) edge node[right]{} (XG)
(Y) edge node[above]{$f$} (XG)
(PB) edge node[above]{} (X)
(PB) edge node[right]{} (Y);
\end{tikzpicture}}
\end{definicja}
\begin{definicja}[$G$-wiązki główne]
$G$ działa na $E$ z prawej, działanie jest wolne, a $E \to E/G=B$ jest lokalnie trywialnym rozwłóknieniem, to $E\to B$ to $G$-wiązka główna.
\end{definicja}
\begin{twierdzeniebd}
$E$ normalna, $G$ zwarta, to $E \to E/G$ jest lokalnie trywialne.
\end{twierdzeniebd}
\begin{definicja}[lokalnie trywialne rozwłóknienie]
$E \to B$ lokalnie trywialne rozwłóknienie, jeśli istnieje pokrycie $U_i$ bazy $B$ takie, że $E|_{U_i} = E \times_B U_i \approx U_i \times G$.
\end{definicja}
\begin{uwaga}
Zauważmy, że w takiej sytuacji jak wyżej,
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\node (Ei) at (0,1) {$E|_{U_i}$};
\node (Eij) at (3,1) {$E|_{U_i \cap U_j}$};
\node (Ej) at (6,1) {$E|_{U_j}$};
\node (Ui) at (0,0) {$U_i \times G$};
\node (Uiji) at (2,0) {$(U_i \cap U_j) \times G$};
\node (Uijj) at (4,0) {$(U_i \cap U_j) \times G$};
\node (Uj) at (6,0) {$U_j \times G$};
\node (gi) at (2,-0.5) {$(u,g)$};
\node (gj) at (4,-0.5) {$(u,g_{ij}g)$};
\path[->,=>angle 90]
(Ei) edge (Ui)
(Eij) edge (Uiji)
(Eij) edge (Uijj)
(Ej) edge (Uj)
(Uiji) edge (Uijj);
\path[|->,=>angle 90]
(gi) edge (gj);
\path[right hook->,=>angle 90]
(Ei) edge (Eij)
(Ui) edge (Uiji);
\path[left hook->,=>angle 90]
(Ej) edge (Eij)
(Uj) edge (Uijj);
\end{tikzpicture}
\end{uwaga}
\begin{definicja}[kocykl definiujący]
\emph{Kocykl definiujący} to $(i,j) \mapsto g_{i,j}$ , gdzie $g_{ij}:U_i \cap U_j \to G$.
\end{definicja}
\begin{stwierdzenie}
$\{g_{ij}\}$ spełniają warunek kocyklu $g_{ij} g_{jk} = g_{ik}$.
\end{stwierdzenie}
\begin{uwaga}
Kocykl daje $G$-wiązkę.
\end{uwaga}
\begin{uwaga}
$U_i \subset B$, $E|_{U_i}$ trywialna $\simeq U_i \times G$, to zamiana trywializacji $U_i \times G \to U_i \times G$ to po prostu $(u,g) \mapsto (u,h_i g)$, gdzie $h_i:U_i \to G$. Zmiana trywializacji na inną daje nowy kocykl $g_{ij}' = h_i^{-1} g_{ij} h_j$.
\end{uwaga}
\begin{stwierdzenie}
Klasy izomorfizmu $G$-wiązek głównych odpowiadają granicy po pokryciach z kocykli podzielonych przez relację kobrzegowości, a to jest izomorficzne z $H^1(B, C(B,G))$, ale to wszystko tak na boku.
\end{stwierdzenie}
\begin{definicja}[przekształcenie wiązek głównych] $G$-niezmiennicze $f$, \raisebox{-0.4\height}{
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\node (E) at (0,1) {$E$};
\node (F) at (1.6,1) {$F$};
\node (B) at (0.8,0) {$B$};
\path[->,=>angle 90]
(E) edge (B)
(F) edge (B)
(E) edge node[above]{$f$} (F);
\end{tikzpicture}}.
\end{definicja}
\begin{stwierdzenie}
Każde przekształcenie wiązek głównych jest izomorfizmem.
\end{stwierdzenie}
\begin{lemat}
$E, F \to B \times I$ wiązki główne, $B$ parazwarte, jeśli $E|_{B \times \{0\}} \simeq F|_{B \times \{0\}}$, to $E \simeq F$.
\end{lemat}
W dowodzie powyższego założyliśmy, że $B$ to CW-kompleks.
\begin{wniosek}
\raisebox{-0.6\height}{\begin{tikzpicture}
\node (PB) at (0,1) {$f^\ast E$};
\node (E) at (2,1) {$E$};
\node (Y) at (0,0) {$Y$};
\node (X) at (2,0) {$X$};
\path[->,>=angle 90]
(E) edge node[right]{} (X)
(Y) edge node[above]{$f$} (X)
(PB) edge node[above]{} (E)
(PB) edge node[right]{} (Y);
\end{tikzpicture}}, $f^\ast E$ jest $G$-wiązką główną nad $Y$.
\end{wniosek}
\begin{twierdzenie}
$f \simeq g:Y \to X \implies f^\ast E \simeq g^\ast E$.
\end{twierdzenie}
\begin{wniosek}
Przyporządkowanie $X \mapsto$ zbiór klas izomorfizmu wiązek jest funktorem kontrawariantnym $hTop \to Set$.
\end{wniosek}
\begin{twierdzeniebd}
Ten funktor jest ``prawie'' reprezentowalny, tzn. istnieje przestrzeń $BG$ (typu CW-kompleks, jeśli $G$ Lie) taka, że klasy homotopii $[X,BG] = $ klasy izomorfizmu $G$-wiązek głównych dla zwartego CW-kompleksu $X$.
\end{twierdzeniebd}
\begin{przyklad}
$BS^1 = \mb{CP}^\infty$
$BU(n) = \Grass_n(\mb{C}^\infty) = \bigcup_N \Grass_n(\mb{C}^N)$
\end{przyklad}
Lokalna struktura $G$-przestrzeni
\begin{definicja}[tuba, slajs]
$x \in X$, \emph{tubą} wokół orbity nazywamy stoczenie $U \supset Gx$ homeomorficzne z $G \times_{G_x} S$, gdzie $S \subset X, x \in S$ i $S$ jest $G_x$-niezmiennicze. $S$ nazywamy \emph{slajsem}.
\end{definicja}
\begin{twierdzenie}[Mostov, Wasserman]
Jeśli $X$ normalna, $G$ zwarta Lie, to każda orbita ma tubę i slajs.
\end{twierdzenie}
\begin{lemat}
Niech $V \to G/H$ wiązka wektorowa z działaniem $G$, która jest liniowa na włóknach (tj. \emph{$G$-wiązka wektorowa}), wtedy istnieje reprezentacja grupy $H$ na $W$ taka, że $V \approx G \times_H W \to G/H$.
\end{lemat}
\begin{twierdzeniebd}[o otoczeniu tubularnym]
$Y \subset X$ podrozmaitość zwarta, to istnieje $\varepsilon>0$ taki, że $exp: NY \to X$ jest homeomorfizmem na wiązce dysków $D_\varepsilon \subset NY=TY^\perp \subset TX|_Y$.
\end{twierdzeniebd}
\end{document}