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题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring/
给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。
示例 1：
- 输入：s = "babad"
- 输出："bab"
- 解释："aba" 同样是符合题意的答案。
示例 2：
- 输入：s = "cbbd"
- 输出："bb"
示例 3：
- 输入：s = "a"
- 输出："a"
示例 4：
- 输入：s = "ac"
- 输出："a"
本题和647.回文子串 差不多是一样的，但647.回文子串更基本一点，建议可以先做647.回文子串
两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后判断这个区间是不是回文。
时间复杂度：O(n^3)
动规五部曲：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
- 确定递推公式
在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。
整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。
当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。
当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况
- 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
- 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是文子串
- 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
dp[i][j] = true;
}
}注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。
在得到[i,j]区间是否是回文子串的时候，直接保存最长回文子串的左边界和右边界，代码如下：
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
dp[i][j] = true;
}
}
if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
maxlenth = j - i + 1;
left = i;
right = j;
}- dp数组如何初始化
dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。
所以dp[i][j]初始化为false。
- 确定遍历顺序
遍历顺序可有有点讲究了。
首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。
dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：
如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。
所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
代码如下：
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
dp[i][j] = true;
}
}
if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
maxlenth = j - i + 1;
left = i;
right = j;
}
}
}- 举例推导dp数组
举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：
注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。
以上分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
int maxlenth = 0;
int left = 0;
int right = 0;
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
dp[i][j] = true;
}
}
if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
maxlenth = j - i + 1;
left = i;
right = j;
}
}
}
return s.substr(left, right - left + 1);
}
};以上代码是为了凸显情况一二三，当然是可以简洁一下的，如下：
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
int maxlenth = 0;
int left = 0;
int right = 0;
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
dp[i][j] = true;
}
if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
maxlenth = j - i + 1;
left = i;
right = j;
}
}
}
return s.substr(left, maxlenth);
}
};
- 时间复杂度：O(n^2)
- 空间复杂度：O(n^2)
动态规划的空间复杂度是偏高的，我们再看一下双指针法。
首先确定回文串，就是找中心然后想两边扩散看是不是对称的就可以了。
在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况。
一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。
那么有人同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。
所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。
这两种情况可以放在一起计算，但分别计算思路更清晰，我倾向于分别计算，代码如下：
class Solution {
public:
int left = 0;
int right = 0;
int maxLength = 0;
string longestPalindrome(string s) {
int result = 0;
for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
extend(s, i, i, s.size()); // 以i为中心
extend(s, i, i + 1, s.size()); // 以i和i+1为中心
}
return s.substr(left, maxLength);
}
void extend(const string& s, int i, int j, int n) {
while (i >= 0 && j < n && s[i] == s[j]) {
if (j - i + 1 > maxLength) {
left = i;
right = j;
maxLength = j - i + 1;
}
i--;
j++;
}
}
};
- 时间复杂度：O(n^2)
- 空间复杂度：O(1)
